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et qu’on substitue ces valeurs dans la seconde série d’équations du numéro précédent, on aura, en ordonnant les termes par rapport aux lettres $h',h'',\ldots ,$

${\begin{aligned}&{\frac {f'\ \varpi '\,+f''\ \varpi ''\,}{h'}}=\varpi '-x,\\&{\frac {f'\ \varpi '\,+f''\ \varpi ''\,}{h'}}+{\frac {f''\,\varpi ''\,+f'''\varpi '''}{h''}}=\varpi '',\\&{\frac {f''\varpi ''+f'''\varpi '''}{h''}}+{\frac {f'''\varpi '''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{h'''}}=\varpi ''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, soustrayant ces équations successivement les unes des autres,

${\begin{aligned}&{\frac {f'\ \ \varpi '\ +f''\ \varpi ''\ }{h'}}=\varpi '\ \ -x,\\&{\frac {f''\ \varpi ''\,+f'''\varpi '''}{h''}}=\varpi ''\ -\varpi '\ +x,\\&{\frac {f'''\varpi '''+f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,}{h'''}}=\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Donc, substituant ici les valeurs trouvées ci-dessus de $h',h'',h''',\ldots ,$ on en tirera les valeurs de $f'',f''',\ldots .$

On aura ainsi

${\begin{aligned}{\frac {f''}{f'}}&=-{\frac {\varpi '\ \ -(\varpi '-x)\left(1+{\cfrac {1}{\alpha '}}\right)}{\varpi ''-(\varpi '-x)(1+\alpha '')}},\\{\frac {f'''}{f''}}&=-{\frac {\varpi ''\ -(\varpi ''-\varpi '+x)\left(1+{\cfrac {1}{\alpha ''}}\right)}{\varpi ''-(\varpi ''-\varpi '+x)(1+\alpha ''')}},\\{\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{f'''}}&=-{\frac {\varpi '''-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)\left(1+{\cfrac {1}{\alpha '''}}\right)}{\varpi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-(\varpi '''-\varpi ''+\varpi '-x)\left(1+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$