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Les lentilles et leur arrangement étant donnés, les distances focales $f',f'',f''',\ldots$ et les distances $h',h'',h''',\ldots$ seront aussi données ; il n’y aura donc d’inconnues que les quantités $a',b',a'',b'',a''',b''',\ldots$ et tout se réduira à déterminer successivement ces différentes inconnues. Cette détermination n’a à proprement parler aucune difficulté ; mais en s’y prenant par les voies ordinaires, on tombe bientôt dans des formules assez compliquées et dans lesquelles il est difficile d’apercevoir la loi de la progression ; il est donc nécessaire d’y employer des méthodes particulières, et c’est en quoi consiste le principal mérite des Théories de Cotes et de M. Euler. Voici ce que j’ai trouvé de plus simple pour cet objet.

5. Je prends une suite de quantités inconnues

$x,x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$

et je suppose

$a'={\frac {x'}{x}},\ \ b'={\frac {x'}{x''}},\ \ a''={\frac {x'''}{x''}},\ \ b''={\frac {x'''}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ \ a'''={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ \ b'''={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}},\ldots \,;$

je substitue ces quantités dans les équations (A) et (B) du numéro précédent, et, chassant les dénominateurs, j’obtiens celles-ci

(C)

$h'x''=x'+x''',\quad h''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\quad h'''x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},\ldots ,$

(D)

$x+x''={\frac {x'}{f'}},\quad x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {x'''}{f''}},\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{f'''}},\ldots .$

Ces équations sont, comme l’on voit, toutes réduites à la même forme, et si pour les simplifier davantage on fait

${\frac {1}{f'}}=m',\ \ h'=m'',\ \ {\frac {1}{f''}}=m''',\ \ h''=m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ \ {\frac {1}{f'''}}=m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ \ h'''=m^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},\ldots ,$

on aura celles-ci

(E)

$\left\{{\begin{aligned}x\ \ -m'\,\ x'\ +x''\ &=0,\\x'\ -m''\ x''\,+x'''&=0,\\x''-m'''x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=0,\\x'''-m^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}\right.$