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ce qui, étant substitué dans l’intégrale complète, donne

$y=-{\frac {x^{4}}{16}}-{\frac {x^{2}}{4}}.$

Et cette règle est générale pour toutes les équations différentio-différentielles dont on connaît l’intégrale finie et complète.

32. Si, au moyen de l’équation finie $\mathrm {V} =0$ et de l’équation aux premières différences ${\frac {dy}{dx}}-p=0$ qui en est dérivée par la différentiation, on élimine l’une des deux constantes $a,b,$ on a une équation différentielle du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ qui sera l’intégrale complète aux différences premièresde l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0\,;$ et, comme on peut éliminer à volonté l’une ou l’autre des deux constantes arbitraires $a,b,$ on aura ainsi deux intégrales aux premières différences ; ce qui est connu des Géomètres.

Supposons maintenant qu’on ait éliminé $b,$ en sorte que dans l’équation $\mathrm {Z} =0$ la quantité $\mathrm {Z}$ soit une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}}$ et $a\,;$ si l’on différentie cette équation en faisant varier $x,y$ et $a,$ et qu’on suppose, en général,

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx+\mathrm {E} da,$

on aura

$d{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx+\mathrm {E} da}{\mathrm {A} }}\,;$

donc, en faisant varier $a$ seul, on aura

${\frac {d^{2}y}{dxda}}=-\mathrm {\frac {B}{A}} {\frac {dy}{da}}-\mathrm {\frac {E}{A}} ,$

et, faisant varier $b$ seul,

${\frac {d^{2}y}{dxdb}}=-\mathrm {\frac {B}{A}} {\frac {dy}{db}}\,;$