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Mais pour ne laisser aucun doute sur la vérité de cette conclusion, nous allons la démontrer directement par le calcul.

27. Pour cela on remarquera que, puisque la Terre se meut autour du Soleil par la même force qui y fait mouvoir les Comètes, il s’ensuit que les formules générales des n^os 5 et 6 auront lieu aussi pour l’orbite de la Terre, de même que pour l’orbite apparente du Soleil.

Si donc on dénote par $\mathrm {X,Y,Z}$ les trois coordonnées rectangles du lieu du Soleil par rapport à la Terre considérée comme en repos, et par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur ou la distance du Soleil ; qu’on désigne de même par $\mathrm {F,G,H}$ ce que deviennent les quantités $f,g,h$ en y changeant $r$ en $\mathrm {R} ,$ on aura pareillement

$\mathrm {FX+G} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad \mathrm {FY+G} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},\quad \mathrm {FZ+G} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {HR} ^{2}$

pour les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ et $\mathrm {R} ^{2}$ après le temps $t+\theta .$

Donc, suivant les suppositions des n^os 11 et 12, on aura

$\mathrm {AR=X,\quad BR=Y,\quad CR=Z} ,$

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A'\ R'\ } =&\mathrm {F'\,X+G'\ } {\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad &\mathrm {B'\ R'\ } =&\mathrm {F'\,Y+G'} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},\quad &\mathrm {C'\ R'\ } =&\mathrm {F'\,Z+G'\ } {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}},\\\mathrm {A''R''} =&\mathrm {F''X+G''} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad &\mathrm {B''R''} =&\mathrm {F''Y+G''} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},\quad &\mathrm {C''R''} =&\mathrm {F''Z+G''} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}.\end{alignedat}}$

D’où, éliminant $\mathrm {X} ,{\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\mathrm {Y} ,\ldots$ et faisant

$\mathrm {L=F'G''-F''G'} ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {ARL-A'R'G''+A''R''G'} =&0,\\\mathrm {B\,RL-B'R'G''+B''R''G'} =&0,\\\mathrm {CRL-C'R'G''+G''R''G'} =&0\,;\end{aligned}}$

équations qui étant ajoutées ensemble, après avoir été multipliées respectivement par $\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma ',\ \gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha ',\ \alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ',$ par $\gamma \beta ''-\beta \gamma '',\ldots ,$