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au lieu de $y$ et $fz+g{\frac {dz}{dt}}$ au lieu de $z\,;$ de sorte que cette valeur sera

$\left(fx+g{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(fy+g{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(fz+g{\frac {dz}{dt}}\right)^{2}$

ou bien

$f^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2fg\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}+z{\frac {dz}{dt}}\right)+g^{2}\left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\,;$

mais on a

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\quad xdx+ydy+zdz=rdr,$

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=d(rdr)-xd^{2}x-yd^{2}y-zd^{2}z=d(rdr)+{\frac {dt^{2}}{r}}\,;$

donc, substituant et divisant par $r^{2},$ on aura

$h=f^{2}+fg{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}+g^{2}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\right]\,;$

et mettant pour $f$ et $g$ leurs valeurs, il viendra la même formule que nous venons de trouver par une voie plus simple et plus directe.

8. Regardons maintenant la quantité $t$ comme constante et $\theta$ comme variable, il est clair que les quantités

$x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},r{\frac {dr}{dt}},{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}},$

qui sont des fonctions de $t,$ seront aussi constantes par rapport à $\theta \,;$ ainsi l’on aura, par les formules des numéros précédents, les valeurs des coordonnées $x,y,z$ et du rayon vecteur $r$ en fonction de ces dernières constantes et de la variable, et ces valeurs seront d’autant plus exactes que l’angle $\theta$ sera plus petit.

Or, puisque (7)

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad {\frac {rdr}{dt}}={\frac {xdx+ydy+zdz}{dt}},$

${\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}},$

on voit que ces différentes constantes se réduisent à ces six $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},$