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faisant $\rho ''=\lambda ,$ la valeur de $1+2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2}$ sera nécessairement trop grande ; donc aussi

$r''^{2}<1+2\lambda \varepsilon +\lambda ^{2}.$

Donc, en général, si $\lambda >0,$ on aura

$r''>1\quad {\text{et}}\quad <{\sqrt {1+2\lambda \varepsilon +\lambda ^{2}}}.$

2^o Si $\lambda$ est $<0,$ alors $1-{\frac {1}{r''^{3}}}<0\,;$ donc $r''<1\,;$ donc $2\rho ''\varepsilon +\rho ''^{2}<0\,;$ par conséquent $\rho ''<-2\varepsilon \,;$ donc $\varepsilon <0\,;$ or

$\rho ''=-\lambda \left({\frac {1}{r''^{3}}}-1\right)\,;$

donc

$-\lambda \left({\frac {1}{r''^{3}}}-1\right)<-2\varepsilon \,;$

donc

${\frac {1}{r''^{3}}}<1+{\frac {-2\varepsilon }{-\lambda }}\,;$

donc on aura, dans le cas de $\lambda <0,$

$r''<1\quad {\text{et}}\quad >{\frac {1}{\sqrt[{3}]{1+{\cfrac {-2\varepsilon }{-\lambda }}}}}.$

On a donc par là les premières limites de la valeur de $r'',$ qu’on pourra, au moyen de l’équation en $r'',$ resserrer autant que l’on voudra par les méthodes connues.

23. La valeur de $r'',$ qu’on aura trouvée par la résolution de l’équation du numéro précédent, sera la première valeur approchée des trois rayons vecteurs $r',r'',r''',$ si $n$ n’est pas égal à $1,$ parce qu’alors l’équation n’est exacte qu’aux quantités du premier ordre près ; mais si $n=1,$ ou exactement, ou à très-peu près, alors cette valeur de $r''$ sera approchée, aux quantités du second ordre près ; donc, en la substituant dans les expressions de $\rho '$ et $\rho ''$ du n^o 21, on aura les valeurs de $\rho ',\rho '''$ approchées, de même aux quantités du second ordre près ; et de là on aura celles de $r'$