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Si l’on ne voulait pas supposer $n=1,$ c’est-à-dire les intervalles entre les observations égaux, alors les termes de l’ordre de $\theta '$ ne se détruiraient pas dans les expressions de $\rho ',\rho '',\rho '''\,;$ mais en négligeant ces termes on aurait

$p={\frac {(1+n)n}{2\mathrm {R} ''^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} ''}{6r''^{3}}}\left[1-(1+n)^{3}+n^{3}\right]={\frac {(1+n)n\mathrm {R} ''}{2}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),$

et de là

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&-{\frac {(1+n)n\mathrm {R} ''\mu '\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\\\rho ''\ =&+{\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right),\\\rho '''=&-{\frac {(1+n)n\mathrm {R} ''\mu '''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Ces expressions s’accordent avec celles du n^o 12 en y faisant (13)

$\mathrm {F} =1,\quad m={\frac {1}{\mathrm {R} ''^{2}}},$

ce qui pourrait servir à confirmer la bonté de nos calculs ; mais l’analyse précédente fait voir de plus que, si l’on y fait $n=1,$ alors les mêmes expressions qui ne sont exactes, en général, qu’aux quantités de l’ordre de $\theta '$ près, deviennent exactes aux quantités près de l’ordre de $\theta '^{2}\,;$ remarque très-importante pour l’usage de ces formules, et que l’analyse seule pouvait fournir.

22. Si l’on combine l’équation

$\rho ''={\frac {n\mathrm {R} ''\mu ''\theta '^{2}}{2\gamma }}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ''^{4}}}-{\frac {1}{r''^{3}}}\right)$

avec celle-ci

$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2},$

on aura, en éliminant $r''^{2},$ une équation en $\rho '',$ laquelle sera essentiellement du huitième degré, mais qui en faisant $\mathrm {R} ''=1$ s’abaissera d’elle-même au septième, comme nous l’avons déjà vu plus haut (13).