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demi-petit axe $=b,$ on a $\mathrm {A} =b\times 180^{\circ }\,;$ de plus on a, par les propriétés de l’ellipse, $p={\frac {b^{2}}{2}}\,;$ donc

$\mathrm {K={\frac {180^{\circ }\times {\sqrt {2}}}{D}}} .$

Donc, si l’on représente le temps par le mouvement moyen du Soleil, on aura $\mathrm {D} =360^{\circ },$ et par conséquent

$\mathrm {K} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,;$

en sorte que l’équation ci-dessus deviendra

${\frac {3}{\sqrt {2}}}\theta '=\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right){\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

où $\theta '$ devra être exprimé par l’arc du mouvement moyen, réduit en parties du rayon.

17. Or nous avons déjà trouvé ( 15)

$\mathrm {L} =2r'r''\sin \omega \cos \omega \,;$

donc, si l’on divise cette quantité par la valeur de ${\sqrt {p}}$ du numéro précédent, on aura

${\frac {\mathrm {L} }{\sqrt {p}}}=2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega {\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

et, divisant encore cette équation par celle qu’on a trouvée en dernier lieu, il viendra

${\frac {\mathrm {L} }{3{\sqrt {2p}}}}={\frac {\theta '{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }{r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}.$

Soit, pour abréger,

$\tau ={\frac {{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }{r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

et, faisant de plus

$r'+r''=2s,$