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on aura

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\mu '}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right),\\\rho ''\ =&-{\frac {\theta '\theta ''\mu ''}{2\gamma \left(1+{\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}\right)}}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right),\\\rho '''=&{\frac {(\theta '+\theta '')\theta ''\mu '''}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left({\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}-m^{2}\right).\end{aligned}}$

Il est visible que ces expressions ne sauraient être réduites davantage, si ce n’est en négligeant dans le dénominateur de $\rho ''$ le terme du second ordre ${\frac {\mathrm {F} \theta '\theta ''}{2r''^{3}}}$ vis-à-vis de $1,$ ce qui donnera

$\rho ''={\frac {\theta '\theta ''\mu ''}{2\gamma }}\mathrm {R} ''\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right).$

Or la quantité $r''$ est donnée en $\rho ''$ par la formule

$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}.$

Donc, si l’on fait cette substitution dans la dernière équation, on aura une équation où il n’y aura d’inconnue que $\rho '',$ et qui servira à la déterminer.

13. Soit, pour abréger,

$\lambda ={\frac {\theta '\theta ''\mu ''\mathrm {R} ''}{2\gamma }},$

on aura

$\rho ''=\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\lambda \,;$

donc

$\lambda \mathrm {F} =\left(\lambda m^{2}-\rho ''\right)r''^{3}\,;$

prenant les carrés et substituant la valeur de $r''^{2}$ en $\rho ,$ on aura l’équation

$\left(\rho ''-\lambda m^{2}\right)^{2}\left[\mathrm {R} ''^{2}+2\rho ''\mathrm {R} ''\cos(\alpha ''-\mathrm {A} '')\cos \beta ''+\rho ''^{2}\right]^{3}-\lambda ^{2}\mathrm {F} ^{2}=0,$

laquelle étant développée et ordonnée par rapport à $\rho ''$ montera au huitième degré.