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et la quantité deviendra

$\delta =\mathrm {R} ''\left[\theta ''\sin(\alpha -\mathrm {A} ''+m\theta ')-(\theta '+\theta '')\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\right.$

$\left.+\theta '\sin(\alpha -\mathrm {A} ''-m\theta '')\right].$

Mais $\theta '$ et $\theta ''$ étant très-petits, on a

${\begin{aligned}\sin(\alpha -\mathrm {A} ''+m\theta ')=&\sin(\alpha -\mathrm {A} '')+m\theta '\cos(\alpha -\mathrm {A} '')-{\frac {m^{2}\theta '^{2}}{2}}\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\\&-{\frac {m^{3}\theta '^{3}}{6}}\cos(\alpha -\mathrm {A} '')+\ldots ,\\\sin(\alpha -\mathrm {A} ''+m\theta '')=&\sin(\alpha -\mathrm {A} '')-m\theta ''\cos(\alpha -\mathrm {A} '')-{\frac {m^{2}\theta ''^{2}}{2}}\sin(\alpha -\mathrm {A} '')\\&+{\frac {m^{3}\theta ''^{3}}{6}}\cos(\alpha -\mathrm {A} '')+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant et négligeant les quantités des ordres supérieurs au troisième, on aura

$\delta =-{\frac {m^{2}(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\sin(\alpha -\mathrm {A} ''),$

quantité qui est, comme l’on voit, du troisième ordre.

Donc, faisant successivement $\alpha =\alpha ',\alpha '',\alpha '''$ pour avoir les valeurs de $\delta ',\delta '',\delta ''',$ et substituant ensuite ces valeurs dans les expressions de $\Gamma ',\Gamma '',$$\Gamma '''$ du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}\Gamma '\ \ =&-{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\sin(\alpha '\ \ -\mathrm {A} ''),\\\Gamma ''\ =&-{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\sin(\alpha ''\ -\mathrm {A} ''),\\\Gamma '''=&-{\frac {u''dt''-t''du''}{d\theta }}{\frac {(\theta '+\theta '')\theta '\theta ''\mathrm {R} ''}{2}}\left(m^{2}-{\frac {\mathrm {F} }{r''^{3}}}\right)\sin(\alpha '''-\mathrm {A} '').\end{aligned}}$

Substituant donc ces valeurs ainsi que celles de $\mathrm {L,M,N}$ dans les expressions de $\rho ',\rho '',\rho '''$ du n^o 8, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mu '\ \ =&\sin \beta ''\ \cos \beta '''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} '')-\sin \beta '''\cos \beta ''\ \sin(\alpha ''\,-\mathrm {A} ''),\\\mu ''\ =&\sin \beta '''\cos \beta '\ \ \sin(\alpha '\,\ -\mathrm {A} '')-\sin \beta '\,\ \cos \beta '''\sin(\alpha '''-\mathrm {A} ''),\\\mu '''=&\sin \beta '\ \ \cos \beta ''\ \sin(\alpha ''\,-\mathrm {A} '')-\sin \beta ''\,\cos \beta '\ \ \sin(\alpha '\,\ -\mathrm {A} ''),\end{aligned}}$