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ou

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dady}}=0\,;$

et dans ce cas l’équation $\mathrm {V} =0$ deviendraune intégrale particulière (10).

28. Considérons les deux conditions

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

et supposant

$b=f(a),\quad db=f'(a)da,$

il est clair que si l’on regarde $y$ comme une fonction de $a$ et de $b,$ la valeur complète de ${\frac {dy}{da}}$ sera représente par ${\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}f'(a),$ de sorte que les deux conditions dont il s’agit seront exprimées ainsi

${\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}f'(a)=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}f'(a)=0.$

Au moyen de ces deux équations on déterminera les valeurs de $a$ et de $f(a)$ ou $b$ en $x$ et $y,$ et on les substituera ensuite dans l’équation $\mathrm {V} =0,$ ou, ce qui revient au même, on éliminera $a$ et $f(a)$ au moyen des trois équations dont il s’agit ; et l’équation résultante sera l’intégrale particulière de l’équation différentio-différentielle $\mathrm {Z} '=0.$

Si l’on remet $db$ à la place de $f'(a)da,$ on aura les deux équations de condition

${\frac {dy}{da}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {db}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}{\frac {db}{da}}=0,$

au moyen desquelles et de l’équation $\mathrm {V} =0$ il faudra éliminer $a$ et $b.$.

En éliminant d’abord les différentiels ${\frac {db}{da}},$ on aura l’équation

${\frac {dy}{da}}{\frac {d^{2}y}{dxdb}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,$

laquelle, étant combinée avec l’équation $\mathrm {V} =0,$ servira à déterminer $a$