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Cette élimination faite, et les termes étant ordonnés par rapport à $x',x'',$$x''',$ on aura l’équation

$(t'''u''-t''u''')x'-(t'''u'-t'u''')x''+(t''u'-t'u'')x'''=0.$

On aura de même ces trois autres équations

$y'=ct'+eu',\quad y''=ct''+eu'',\quad y'''=ct'''+eu''',$

d’où, éliminant $c$ et $e,$ on aura

$(t'''u''-t''u''')y'-(t'''u'-t'u''')y''+(t''u'-t'u'')y'''=0\,;$

enfin on aura aussi

$z'=ft'+gu',\quad z''=ft''+gu'',\quad z'''=ft'''+gu''',$

d’où l’on tirera pareillement

$(t'''u''-t''u''')z'-(t'''u'-t'u''')z''+(t''u'-t'u'')z'''=0.$

7. Donc, si l’on fait, pour abréger,

$t''u'-t'u''=\mathrm {L} ,\quad t'''u'-t'u'''=\mathrm {M} ,\quad t'''u''-t''u'''=\mathrm {N} ,$

on aura ces trois équations semblables

$\mathrm {N} x'-\mathrm {M} x''+\mathrm {L} x'''=0,\quad \mathrm {N} y'-\mathrm {M} y''+\mathrm {L} y'''=0,\quad \mathrm {N} z'-\mathrm {M} z''+\mathrm {L} z'''=0.$

Qu’on substitue dans ces équations les valeurs de $x',y',z'$ en $\rho ',$ celles de $x'',y'',z''$ en $\rho '',$ et enfin celles de $x''',y''',z'''$ en $\rho ''',$ données par les formules du n^o 2, en marquant successivement toutes les lettres d’un trait, ou de deux, ou de trois, pour les rapporter à la première observation, à la seconde, ou à la troisième ; on aura, comme l’on voit, trois équations linéaires en $\rho ',\rho '',\rho ''',$ par lesquelles on pourra déterminer ces trois quantités. De sorte que le Problème serait résolu si l’on connaissait les valeurs des trois quantités $\mathrm {L,M,N} ,$ ou seulement leurs rapports, puisqu’en divisant les trois équations par $\mathrm {L} ,$ il ne s’y trouvera que les deux quantités $\mathrm {\frac {M}{L}} ,\mathrm {\frac {N}{L}} .$