Il est possible que cette équation finale s’abaisse d’elle-même à un degré moindre, et même cela paraît nécessaire, puisqu’on sait d’ailleurs que le Problème n’est que du premier degré ; ce qu’on peut aussi démontrer par nos formules, en prenant pour inconnues les distances de la Comète à la Terre aux temps des trois observations.
En effet, si dans les trois équations ci-dessus on substitue pour les premières valeurs du no 2, qui sont indépendantes de la considération du plan de l’orbite, on aura trois équations linéaires entre les trois inconnues par lesquelles on pourra déterminer ces inconnues ; de là on aura les valeurs de et les deux équations
donneront ensuite, si l’on veut, les valeurs de et de qui étaient les inconnues cherchées d’abord.
Mais nous venons plus bas que l’hypothèse sur laquelle est fondée cette solution n’est point admissible, même en supposant les intervalles entre les observations infiniment petits ; de sorte qu’on ne peut pas même employer cette solution pour avoir les premières valeurs approchées des inconnues.
5. Puisque la manière précédente de traiter le Problème des Comètes, en y prenant pour inconnue la position du plan de l’orbite, n’est point propre à fournir une solution approchée ; que, même dans le cas le plus simple, elle conduit à des équations beaucoup plus compliquées qu’il ne faut, il s’ensuit qu’il est nécessaire de s’y prendre autrement pour réduire le Problème en équations ; et comme la condition, que les trois lieux de la Comète soient dans un même plan avec le Soleil, est la plus simple de toutes celles que la question renferme, il paraît naturel de commencer par y satisfaire ; mais il faudra employer pour cela d’autres moyens que ceux dont on a fait usage plus haut.
Je considère donc que si l’on désigne par et l’abscisse et l’ordonnée de l’orbite de la Comète, prises dans le plan de cette orbite et ayant leur origine au centre du Soleil, et qu’on cherche à en déduire les coordon-
