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l’angle parcouru par la Comète autour du Soleil dans le même temps, on a pour la parabole la formule (voyez plus bas le n^o 16)

${\frac {3}{\sqrt {2}}}\theta '=(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega ){\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}.$

Or on a

$r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\quad r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},$

et l’on trouve facilement (voyez le n^o 24)

$\cos 2\omega ={\frac {x'x''+y'y''+z'z''}{r'r''}},$

et par conséquent

${\sqrt {rr'}}\cos \omega ={\sqrt {\frac {r'r''+x'x''+y'y''+z'z''}{2}}},$

à cause de

$\cos \omega ={\sqrt {\frac {1+\cos 2\omega }{2}}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et mettant ensuite à la place de $x',y',z'\,;x'',y'',z''$ leurs valeurs en $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ on aura une équation dans laquelle il n’entrera que ces deux inconnues.

On trouvera une pareille équation en considérant le temps écoulé entre la seconde observation et la troisième ; et l’on pourra en avoir une troisième en comparant la première et la troisième observation mais comme il n’y a que deux inconnues $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ deux équations suffisent pour les déterminer et c’est à cette détermination qu’est maintenant réduite toute la difficulté du Problème.

Mais pour peu qu’on considère la forme des équations qu’il s’agit de résoudre, on verra aisément que la difficulté dont nous venons de parler est absolument insurmontable, par les méthodes connues ; car quoique ces équations soient algébriques, elle sont néanmoins si compliquées que si l’on voulait prendre la peine de les réduire à une forme rationnelle, et ensuite d’éliminer une des deux inconnues, on parviendrait, après des calculs immenses, à une équation finale d’un degré très-élevé, dont on ne pourrait tirer aucun parti.