une ligne droite ; on aura donc, en général, entre
et
l’équation
![{\displaystyle u=mt+n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b1300674499ec230faffb4254c3940d22676f4)
et
étant constantes pour la même tangente, mais variables d’une tangente à l’autre. Or, comme la droite et la courbe doivent d’abord se rencontrer dans un point, on aura dans ce point
donc
![{\displaystyle y=mx+n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2d11fcb2453e1bc17f37108afa28ee48886819)
ensuite, comme elles doivent de plus se toucher dans le même point, on aura encore
mais
donc
et par conséquent
donc l’équation à la tangente sera
![{\displaystyle u=t{\frac {dy}{dx}}+y-x{\frac {dy}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee12fb2360ce7a95a1afb46b3eb4c2fcd0bfb00c)
Prenons l’origine des coordonnées pour le point donné, et nommant
une ligne menée de ce point à la tangente, on aura
![{\displaystyle \rho ^{2}=t^{2}+u^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af719b821b285134f1f4ae7a17ec72de6b42732)
donc, pour que cette ligne soit perpendiculaire, il faudra que
ce qui donne
![{\displaystyle tdt+udu=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {du}{dt}}=-{\frac {t}{u}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24135e926c1b5d55a422b1af1cbf410d19188c6b)
donc
![{\displaystyle {\frac {t}{u}}=-{\frac {dy}{dx}},\quad t=-u{\frac {dy}{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e7ffefe3f3c92ee0a7d5a2b2358f33ca36deee)
donc, substituant cette valeur de
dans l’équation ci-dessus, on en tire
![{\displaystyle u={\frac {(ydx-xdy)dx}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57c7f77adacb99f6a760c3fa6d6ca2d113c1b59)
donc
![{\displaystyle \rho ^{2}=u^{2}\left(1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}\right)={\frac {(ydx-xdy)^{2}}{dx^{2}+dy^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88acb0cbc2d8e9180da4d544d6b00da7d2591fc1)
c’est le carré de la perpendiculaire menée du point donné sur la tan-