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comme dans le numéro précédent, aux quantités du second ordre près,

${\frac {1}{\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}}}=$

${\frac {1}{\sqrt {(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}}}}$

$-\mathrm {\frac {M'}{M+M'}} {\frac {(\mathrm {X} -x'')(x'-x)+(\mathrm {Y} -y'')(y'-y)+(\mathrm {Z} -z'')(z'-z)}{\left[(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

${\frac {1}{\sqrt {(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}+(z'-z'')^{2}}}}=$

${\frac {1}{\sqrt {(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}}}}$

$-\mathrm {\frac {M}{M+M'}} {\frac {(\mathrm {X} -x'')(x-x')+(\mathrm {Y} -y'')(y-y')+(\mathrm {Z} -z'')(z-z')}{\left[(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

et l’on voit que, si l’on multiplie ces quantités respectivement par $\mathrm {M,M'}$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, les termes du premier ordre se détruiront mutuellement, et l’on aura simplement

${\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}}}$

$+{\frac {\mathrm {M} '}{\sqrt {(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}+(z'-z'')^{2}}}}$

$={\frac {\mathrm {M+M'} }{\sqrt {(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}}}}.$

On trouvera de la même manière, en traitant le rapport de la distance entre les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ à la distance entre le centre de gravité de ces corps et le corps $M'''$ comme une quantité très-petite du premier ordre et négligeant les quantités très-petites du second ordre,

${\frac {\mathrm {M} }{\sqrt {(x-x''')^{2}+(y-y''')^{2}+(z-z''')^{2}}}}$

$+{\frac {\mathrm {M} '}{\sqrt {(x'-x''')^{2}+(y'-y''')^{2}+(z'-z''')^{2}}}}$

$={\frac {\mathrm {M+M'} }{\sqrt {(\mathrm {X} -x''')^{2}+(\mathrm {Y} -y''')^{2}+(\mathrm {Z} -z''')^{2}}}}.$

et ainsi de suite.

Or, si l’on considère l’expression de $\Omega$ du n^o 1, on verra que le premier terme

${\frac {\mathrm {MM'} }{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}$

se détruit de soi-même dans les valeurs de

${\frac {d\Omega }{dx}}+{\frac {d\Omega }{dx'}},\quad {\frac {d\Omega }{dy}}+{\frac {d\Omega }{dy'}},\quad {\frac {d\Omega }{dz}}+{\frac {d\Omega }{dz'}}\,;$