12. Qu’on suppose présentement que dans le système des corps
il y en ait deux
et
qui soient fort éloignés des autres corps
par rapport à la distance où ils sont l’un de l’autre ; et qu’on cherche le mouvement du centre de gravité de ces corps. Nommant
les coordonnées de ce centre, on aura, comme l’on sait,
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'}{\mathrm {M+M'} }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'}{\mathrm {M+M'} }},\quad \mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M+M'} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0165270e02793c6b73ccb71567eb8b3950f2e0)
et pour avoir les équations du mouvement du même centre, il n’y aura qu’à substituer dans les valeurs de
celles des quantités ![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3918af61e0e7a5004f80b6051a72174c7b22c3)
tirées des équations du no 2. ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}={\frac {{\cfrac {d\Omega }{dx}}+{\cfrac {d\Omega }{dx'}}}{\mathrm {M+M} '}},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}={\frac {{\cfrac {d\Omega }{dy}}+{\cfrac {d\Omega }{dy'}}}{\mathrm {M+M} '}},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}={\frac {{\cfrac {d\Omega }{dz}}+{\cfrac {d\Omega }{dz'}}}{\mathrm {M+M} '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff51a42cc0571580a0b74936ebffa251ecd0e98b)
Or on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x\,\ =&\mathrm {X} +{\frac {\mathrm {M} '(x'-x)}{\mathrm {M+M'} }},\quad &y\,\ =&\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {M} '(y'-y)}{\mathrm {M+M'} }},\quad &z\,\ =&\mathrm {Z} +{\frac {\mathrm {M} '(z'-z)}{\mathrm {M+M'} }},\\x'=&\mathrm {X} +{\frac {\mathrm {M} (x-x')}{\mathrm {M+M'} }},\qquad &y'=&\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {M} (y-y')}{\mathrm {M+M'} }},\qquad &z'=&\mathrm {Z} +{\frac {\mathrm {M} (z-z')}{\mathrm {M+M'} }},\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4662cfc043af213b290e6a2ec6d4dfa1081ca642)
Donc, si l’on fait ces substitutions dans les expressions
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}}},\ \ {\frac {1}{\sqrt {(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}+(z'-z'')^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ed4d17bd7d3600e2d43ca5b6f8d8b051e3aaca)
et qu’on traite comme une quantité très-petite du premier ordre le rapport de la distance
![{\displaystyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb6fa3815f192e8123f45f13f6c03194d6278be)
entre les corps
et
à la distance.
![{\displaystyle {\sqrt {(\mathrm {X} -x'')^{2}+(\mathrm {Y} -y'')^{2}+(\mathrm {Z} -z'')^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c23eefa4c8edb8604082ed9a1e008633077496)
entre le centre de gravité des mêmes corps et le corps
on aura,