Et comme
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {M} 'x'}{\mathrm {M} }},\quad y=-{\frac {\mathrm {M} 'y'}{\mathrm {M} }},\quad z=-{\frac {\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43d164c2ec5316e8b61addebf70f41a3928df0c)
si l’on substitue ces valeurs et qu’on fasse
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233c12f2ad1a7f70dbdff3733ae30df126965b07)
de manière que
soit le rayon vecteur de l’orbite du corps
autour du même centre de gravité, on aura, pour le mouvement de ce corps, les équations
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {x'}{r'^{3}}},\quad {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {y'}{r'^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba441a9ae1d2cc9ea4748e724e0387d4af418b0)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {z'}{r'^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc68751a0fae3690a8145de467946d8a37313cf)
d’où l’on voit que le corps
se meut comme s’il était attiré vers le centre de gravité, supposé fixe, par une force égale à ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} ^{3}}{(\mathrm {M+M'} )^{2}r'^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49accb0b1661b3d39834cebb8762eae7f1483219)
Enfin si l’on fait
![{\displaystyle x-x'=\xi ,\quad y-y'=\eta ,\quad z-z'=\zeta ,\quad \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\rho ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6559a184e82dc49ee9f126320c487850ec40a86)
en sorte que
soient les coordonnées de l’orbite du corps
autour du corps
regardé comme fixe, et
le rayon vecteur ou la distance de ces corps, on aura, en mettant pour
leurs valeurs
ces valeurs de
savoir
![{\displaystyle x=\mathrm {\frac {M'\xi }{M+M'}} ,\quad y=\mathrm {\frac {M'\eta }{M+M'}} ,\quad z=\mathrm {\frac {M'\zeta }{M+M'}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cac436bddd011cdd24c775f4fafcf09cd3da21e)
lesquelles étant substituées dans les équations ci-dessus, il viendra ces trois-ci
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {(M+M')\xi }{\rho ^{3}}} ,\quad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {(M+M')\eta }{\rho ^{3}}} ,\quad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {(M+M')\zeta }{\rho ^{3}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27e8171af2ade0556e3b9012732bcc3dc034f9c)
lesquelles montrent que le mouvement relatif du corps
autour du corps
est le même que si ce dernier corps était fixe, et qu’il attirât le premier avec une force égale à
C’est ce que l’on sait depuis Newton.