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Et comme

$x=-{\frac {\mathrm {M} 'x'}{\mathrm {M} }},\quad y=-{\frac {\mathrm {M} 'y'}{\mathrm {M} }},\quad z=-{\frac {\mathrm {M} 'z'}{\mathrm {M} }},$

si l’on substitue ces valeurs et qu’on fasse

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},$

de manière que $r'$ soit le rayon vecteur de l’orbite du corps $\mathrm {M} '$ autour du même centre de gravité, on aura, pour le mouvement de ce corps, les équations

${\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {x'}{r'^{3}}},\quad {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {y'}{r'^{3}}},$

${\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {z'}{r'^{3}}},$

d’où l’on voit que le corps $\mathrm {M} '$ se meut comme s’il était attiré vers le centre de gravité, supposé fixe, par une force égale à ${\frac {\mathrm {M} ^{3}}{(\mathrm {M+M'} )^{2}r'^{2}}}.$

Enfin si l’on fait

$x-x'=\xi ,\quad y-y'=\eta ,\quad z-z'=\zeta ,\quad \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\rho ^{2},$

en sorte que $\xi ,\eta ,\zeta$ soient les coordonnées de l’orbite du corps $\mathrm {M}$ autour du corps $\mathrm {M} '$ regardé comme fixe, et $\rho$ le rayon vecteur ou la distance de ces corps, on aura, en mettant pour $x',y',z'$ leurs valeurs $-{\frac {\mathrm {M} x}{\mathrm {M} '}},-{\frac {\mathrm {M} y}{\mathrm {M} '}},-{\frac {\mathrm {M} z}{\mathrm {M} '}},$ ces valeurs de $x,y,z,$ savoir

$x=\mathrm {\frac {M'\xi }{M+M'}} ,\quad y=\mathrm {\frac {M'\eta }{M+M'}} ,\quad z=\mathrm {\frac {M'\zeta }{M+M'}} ,$

lesquelles étant substituées dans les équations ci-dessus, il viendra ces trois-ci

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {(M+M')\xi }{\rho ^{3}}} ,\quad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {(M+M')\eta }{\rho ^{3}}} ,\quad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {(M+M')\zeta }{\rho ^{3}}} ,$

lesquelles montrent que le mouvement relatif du corps $\mathrm {M}$ autour du corps $\mathrm {M} '$ est le même que si ce dernier corps était fixe, et qu’il attirât le premier avec une force égale à $\mathrm {\frac {M+M'}{\rho ^{2}}} .$ C’est ce que l’on sait depuis Newton.