Ainsi les caustiques par réflexion et par réfraction ne sont autre chose que les courbes représentées par l’intégrale particulière de l’équation différentielle qui exprime à la fois toutes les lignes droites suivant lesquelles les rayons sont réfléchis ou réfractés.
Et les développées ne sont que les courbes représentées par l’intégrale particulière de l’équation différentielle qui exprime toutes les lignes droites qui coupent la développante à angles droits ; et ainsi du reste.
24. Toute équation différentielle du premier ordre représente donc premièrement une infinité de courbes de la même famille, qui ne diffèrent entre elles que par la valeur de la constante arbitraire, laquelle tient lieu de paramètre ; en second lieu, cette équation représente aussi la courbe qui touche toutes ces mêmes courbes ; en sorte qu’on peut regarder en quelque façon tant les courbes touchées que la courbe touchante comme une seule courbe ayant une infinité de branches liées entre elles par la même équation. Ainsi, à chaque point de la courbe touchante il y aura deux branches qui se rencontrent dans ce point et qui ont une tangente commune ; l’une c’est la courbe touchante même, et l’autre c’est la courbe qu’elle touche dans ce même point ; donc à chaque valeur de il devra répondre une valeur double de par conséquent l’expression de la quantité tirée de l’équation différentielle proposée au moyen de la différentiation, devra devenir égale à pour tous les points de la courbe touchante, par une raison semblable à celle par laquelle on prouve que la valeur de devient égale à dans les points doubles des courbes ; et l’on dira la même chose à l’égard de la quantité en supposant constant au lieu de De cette manière on pourra donc déduire de l’équation différentielle même celle de la courbe qui toucherait toutes les différentes courbes représentées par cette équation différentielle ; et comme l’équation de la courbe touchante n’est autre chose que l’intégrale parti-
