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Maintenant, pour pouvoir déterminer $u$ et $t$ d’une manière rationnelle, j’égale d’abord à zéro, dans l’équation en $t$ et $u,$ les deux premiers termes où $t$ et $u$ sont linéaires ; j’ai ainsi

$\mathrm {B} t+\mathrm {C} u=0,\quad {\text{d’où}}\quad u=-{\frac {\mathrm {B} t}{\mathrm {C} }}\,;$

de cette manière il reste l’équation

$\mathrm {D} t^{2}+\mathrm {E} tu+\mathrm {F} u^{2}+\mathrm {G} t^{3}+\mathrm {H} t^{2}u+\mathrm {K} tu^{2}+\mathrm {L} u^{3}=0\,;$

substituant donc à la place de $u$ sa valeur, toute l’équation deviendra divisible par $t^{2},$ et l’on aura, après la division,

$\mathrm {D-{\frac {BE}{C}}+{\frac {B^{2}F}{C^{2}}}+\left(G-{\frac {BH}{C}}+{\frac {B^{2}K}{C^{2}}}-{\frac {B^{3}L}{C^{3}}}\right)} t=0,$

d’où l’on tire

$t=\mathrm {\frac {-C^{3}D+BC^{2}E-B^{2}CF}{C^{3}G-BC^{2}H+B^{2}CK-B^{3}L}} \,;$

donc

$u=\mathrm {\frac {BC^{2}D-B^{2}CE+B^{3}F}{C^{3}G-BC^{2}H+B^{2}CK-B^{3}L}} .$

On aura donc deux nouvelles valeurs satisfaisantes de $x$ et $y,$ et prenant ces dernières à la place de $p$ et $q,$ on pourra en déduire de nouvelles, et ainsi de suite.

13. Si l’équation indéterminée était du quatrième degré, il ne serait pas possible de la résoudre généralement par la méthode précédente ; mais on pourrait en venir à bout, si elle ne contenait que les deux premières puissances de l’une des deux inconnues, et que de plus, en regardant cette inconnue comme de deux dimensions, il n’y eût dans l’équation aucun terme de plus de quatre dimensions.

En effet, soit l’équation

$0=a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}+gx^{3}+hx^{2}y+kx^{4}$

qui a les conditions requises, et supposons que les valeurs

$x=p,\quad y=q$