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Nous avons déjà vu que $q$ et $r$ doivent être premiers entre eux ; or $q$ doit être impair, autrement $s$ serait pair, par conséquent $2r^{4}$ serait divisible par $4,$ et $r^{4}$ le serait par $2\,;$ donc $r$ et $q$ seraient pairs à la fois et par conséquent ne seraient plus premiers entre eux ; $q$ étant donc impair, il est visible que $s$ le sera aussi. Donc, si l’on met l’équation sous la forme

$2r^{4}=q^{4}-s^{2}=\left(q^{2}+s\right)\left(q^{2}-s\right),$

les deux facteurs $q^{2}+s$ et $q^{2}-s$ seront tous les deux pairs, et par conséquent de la forme $2m\lambda ,2m\mu ,$ $2m$ étant leur plus grande commune mesure, et $\lambda ,\mu$ étant deux nombres premiers entre eux. On aura ainsi

$q^{2}+s=2m,\quad q^{2}-s=2m\mu ,\quad 2r^{4}=4m^{2}\lambda \mu ,$

ou bien

$r^{4}=2m^{2}\lambda \mu \,;$

donc $m$ divise $r^{2},$ mais il divise aussi $q^{2},$ parce que

$q^{2}=m(\lambda +\mu )\,;$

donc puisque $q$ et $r$ sont premiers entre eux, il faudra que $m=1.$ On aura donc

$r^{4}=2\lambda \mu \,;$

donc $r$ sera pair ; donc faisant

$r=2h,$

on aura

$8h^{4}=\lambda \mu \,;$

donc $\lambda$ et $\mu$ étant premiers entre eux, on aura nécessairement ou

$\lambda =8n^{4},\quad \mu =p^{4},\quad {\text{ou}}\quad \lambda =n^{4},\quad \mu =8p^{4}\,;$

d’où

$h=pn,\quad r=2pn.$

Ainsi l’on aura

$s=\lambda -\mu =8n^{4}-p^{4}\quad {\text{ou}}\quad =n^{4}-8p^{4},$

et

$q^{2}=\lambda +\mu =8n^{4}+p^{4}\quad {\text{ou}}\quad =n^{4}+8p^{4},$