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de la résolution de latfuelle dépend donc la solution du Problème proposé car ayant trouvé les valeurs de $x,y,z,$ on aura sur-le-champ

$p={\frac {y^{2}+z}{2}},\quad q={\frac {y^{2}-z}{2}}.$

Si l’on prend pour $x$ et $y$ les valeurs données ci-dessus, on aura

${\begin{alignedat}{6}1^{\circ }\quad x=&1,&y=&1,&{\text{d'où}}\quad z=&1,&{\text{donc}}\quad p=&1,&q=&0\,;\\2^{\circ }\quad x=&13,\quad &y=&1,\quad &{\text{d'où}}\quad z=&239,\quad &{\text{donc}}\quad p=&120,\quad &q=&-119\,;\\\end{alignedat}}$

$3^{\circ }\quad x=2\,165\,017,\quad y=2\,372\,159,\quad {\text{d'où}}\quad z=1\,560\,590\,745\,759,$

donc $\quad p=1\,061\,652\,293\,520,\quad q=4\,565\,486\,027\,761.$

4. De ces trois solutions on voit qu’il n’y a que la dernière qui soit admissible lorsqu’on demande que les nombres cherchés $p$ et $q$ soient entiers et positifs ; mais on voit en même temps que ces valeurs de $p$ et $q$ sont extrêmement grandes, et il serait naturel de croire qu’on pourrait satisfaire à la question par des nombres plus petits si Fermat n’assurait pas positivement le contraire dans l’endroit cité ci-dessus ; cependant, comme cette assertion n’y est pas démontrée, et qu’elle ne me paraît même pouvoir l’être par la méthode que Fermat indique et qui n’est autre chose que celle dont nous avons parlé plus haut, on peut regarder comme non résolu le Problème de trouver les plus petits nombres entiers positifs qui satisfassent à la double condition que leur somme soit un carré, et que la somme de leurs carrés soit un bi-carré. Mais comment doit-on s’y prendre pour parvenir à une solution complète de ce Problème et des Problèmes analogues ? Il me semble qu’on ne saurait atteindre à ce but que par un artifice semblable à celui qui a servi à démontrer les Théorèmes dont nous avons fait mention au commencement de ce Mémoire ; car, si l’on peut prouver que, lorsqu’il y a des valeurs quelconques entières de $x$ et $y$ qui satisfont à l’égalité

$2x^{4}-y^{4}=\square .$

il y en a nécessairement deux autres plus petites qui y satisfont aussi, et