SUR QUELQUES PROBLÈMES
DE
L’ANALYSE DE DIOPHANTE[1].
de Berlin, année 1777.)
1. Parmi le grand nombre de beaux Théorèmes d’Arithmétique que Fermat nous a laissés dans ses Observations sur Diophante, un des plus remarquables est celui qui est énoncé dans l’Observation sur la Question XXVI du Livre VI, parce que c’est le seul dont Fermat ait donné la démonstration.
Ce Théorème est que la différence de deux nombres bi-carrés ne peut jamais être un carré ; et la démonstration de Fermat consiste à faire voir que, s’il y avait deux nombres entiers bi-carrés dont la différence fût un carré, on pourrait toujours trouver deux autres nombres entiers moindres que ceux-là, qui auraient la même propriété, et ainsi de suite ; de sorte qu’on parviendrait nécessairement à de petits nombres bi-carrés dont la différence serait un carré ; or cela est impossible, comme on peut s’en assurer en examinant successivement les premiers nombres de la suite naturelle. Le Théorème étant ainsi démontré pour les nombres entiers, il est clair qu’il l’est aussi pour les nombres rompus, puisque si la différence des bi-carrés de deux nombres rompus est un carré, et qu’on ré-
- ↑ Lu le 20 mars 1777.
