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gré dont l’exposant sera exprimé par

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-2s+1)}{2.(1.2.3\ldots s)^{2}}},$

et elle aura un nombre de racines réelles négatives égal à

$2^{s-1}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}},$

en nommant $m$ l’exposant du degré de la proposée et $2n$ le nombre de ses racines imaginaires.

Lorsque $s$ est $>n,$ alors le nombre des racines réelles négatives de la transformée sera nécessairement nul ; mais elle contiendra toujours nécessairement un nombre de racines réelles positives, de sorte qu’on est assuré que chaque transformée contient toujours des racines réelles.

Nous appellerons, pour plus de simplicité, première transformée, seconde transformée, troisième transformée, etc., celles où le nombre $s$ est l’unité, ou deux, ou trois, etc.

29. Je dis maintenant qu’au moyen de ces différentes transformées on pourra déterminer le nombre des racines réelles de la proposée, pourvu qu’on ait un critère pour reconnaître si une équation, qu’on sait contenir nécessairement des racines réelles, en a de négatives ou non. J’avoue que je ne connais point jusqu’à présent un pareil critère, et que je ne vois pas même comment il serait possible de le trouver ; je crois néanmoins que c’est simplifier beaucoup la recherche du nombre des racines imaginaires que de la réduire à celle de l’existence de quelques racines négatives dans des équations que l’on sait devoir contenir nécessairement des racines réelles.

Voici donc comment on pourra s’y prendre pour déterminer combien il y a de racines imaginaires dans une équation, lorsqu’on sera en état de juger, en général, si une équation, qu’on sait contenir des racines réelles, en a de négatives ou non.

On cherchera d’abord la première transformée de l’équation proposée ; si cette transformée a tous ses termes alternativement positifs et négatifs,