Donc
1o La proposée aura toutes ses racines réelles si les termes de cette transformée en sont alternativement positifs ou négatifs ; sinon elle aura des racines imaginaires ;
2o Comme une équation du quatrième degré ne peut avoir que deux ou quatre racines imaginaires, on pourra distinguer ces deux cas par le signe du dernier terme, lequel devra être positif dans le premier et négatif dans le second ;
3o Si le dernier terme est nul, il y aura dans la proposée deux racines égales ; si l’avant-dernier est aussi nul, il y aura deux couples de racines égales ; et si les trois derniers termes sont nuls à la fois, il y aura nécessairement trois racines égales entre elles, et ainsi de suite.
19. On pourra de même reconnaitre le nombre des racines imaginaires dans les équations du cinquième degré ; car, si la transformée en a tous ses termes alternativement positifs et négatifs, la proposée aura toutes ses racines réelles ; autrement elle en aura d’imaginaires, et comme alors elle ne pourra avoir que deux ou quatre imaginaires, on pourra distinguer ces deux cas par le signe du dernier terme.
Passé le cinquième degré, on ne pourra plus par ce moyen déterminer précisémentle nombre des racines imaginaires. Car prenant, par exemple, une équation du sixième degré, on reconnaîtra d’abord par les signes de la transformée en si toutes les racines sont réelles ou non or s’il y en a d’imaginaires, elles pourront être au nombre de deux, ou de quatre, ou de six, et le signe du dernier terme fera connaitre seulement si elles sont au nombre de quatre, ou au nombre de deux, ou six ; de sorte qu’il restera un cas indéterminé. Il faudrait, pour juger si les imaginaires sont au nombre de deux, ou de six, pouvoir reconnaitre si la transformée en a une seule racine négative, ou bien trois ; mais c’est de quoi on ne saurait venir à bout par aucune méthode connue.
20. On a vu (11) que la quantité est égale au carré de la demi-différence de deux quelconques des racines de la proposée ; ainsi la trans-
