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tions nous mettrons $t$ à la place de ${\frac {a}{2}},$ en sorte que le diviseur du second degré soit représenté par

$x^{2}-2tx+t^{2}-u,$

et les deux du premier par

$x-t\pm {\sqrt {u}}.$

16. Soit d’abord l’équation du second degré

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0\,;$

dans ce cas on aura sur-le-champ

$t={\frac {\mathrm {A} }{2}},\quad {\text{et}}\quad t^{2}-u=\mathrm {B} \,;$

d’où

$u-\mathrm {{\frac {A^{2}}{4}}+B} =0\,;$

de sorte que les racines de la proposée seront réelles inégales ou égales ou imaginaires suivant que

$\mathrm {{\frac {A^{2}}{4}}-B} >{\text{ ou }}={\text{ ou }}<0.$

17. Soit l’équation générale du troisième degré

$x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0\,;$

substituant $t+{\sqrt {u}}$ à la place de $x,$ on aura

$t^{3}+3t^{2}{\sqrt {u}}+3tu+u{\sqrt {u}}-\mathrm {A} \left(t^{2}+2t{\sqrt {u}}+u\right)+\mathrm {B} \left(t+{\sqrt {u}}\right)-\mathrm {C} =0.$

Donc, égalant à zéro séparément les quantités rationnelles et les irrationnelles, on aura ces deux équations

${\begin{aligned}&t^{3}-\mathrm {A} t^{2}+(\mathrm {B} +3u)t-\mathrm {A} u-\mathrm {C} =0,\\&3t^{2}-2\mathrm {A} t+\mathrm {B} +u=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera celle-ci

$2\left(3\mathrm {B-A} ^{2}+12u\right)t+\mathrm {AB} -9\mathrm {C} -8\mathrm {A} u=0\,;$