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cette équation est l’unique intégrale particulière dont l’équation différentielle proposée soit susceptible.

19. Les deux autres Exemples du n^o 6 appartiennent à la formule

$y-px+f(p)=0$

que nous avons considérée, en général, dans le n^o 17 ci-dessus. En effet, en faisant ${\frac {dy}{dx}}=p,$ les équations différentielles des deux Exemples dont nous parlons se réduisent à ces formes

$y-px-b{\sqrt {1+p^{2}}}=0$

et

$y-px+bp-{\sqrt {c^{2}\left(1+p^{2}\right)-b^{2}}}=0,$

qui sont évidemment des cas particuliers de la forme générale

$y-px+f(p)=0\,;$

or nous avons déjà vu (numéro cité) que cette équation admet toujours une intégrale particulière, laquelle est le résultat de l’élimination de $p$ des deux équations

$y-px+f(p)=0,\quad f'(p)-x=0\,;$

ainsi il ne s’agit que d’examiner si cette intégrale est la même qu’on tirerait de l’intégrale complète par la règle de l’Article I (n^os 4, 5).

L’intégrale dont il s’agit est (17)

$y-ax+f(a)=0,$

d’où l’on tire

${\frac {dy}{da}}=x-f'(x),\quad {\frac {dx}{da}}={\frac {f'(a)-x}{a}}\,;$

ainsi les deux conditions ${\frac {dy}{da}}=0$ et ${\frac {dx}{da}}=0$ donnent également $f'(a)-x=0\,;$