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est un diviseur de l’équation proposée, on aura comme l’on sait

$a=x'+x'',\quad b=x'x''$

(en désignant par $x',x''$ deux quelconques des racines de cette équation), donc

$u={\frac {a^{2}}{4}}-b={\frac {(x'+x'')^{2}}{4}}-x'x''={\frac {(x'-x'')^{2}}{4}}\,;$

ainsi $a$ et $u$ sont des fonctions des mêmes racines $x',x'',$ et de plus ces fonctions sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en y changeant $x'$ en $x''\,;$ d’où il s’ensuit que les quantités $a$ et $u$ doivent être données par des équations du même degré, et que, dès que l’on connaîtra une des valeurs de $u$ par la résolution de l’équation en $u,$ on pourra toujours déterminer par son moyen la valeur correspondante de $a,$ et cela par une équation du premier degré si là valeur de $u$ est une racine inégale, ou par une équation du second, du troisième, … degré si la valeur de $u$ est une racine double, triple, (voyez la démonstration dans la Section IV du Mémoire cité ci-dessus, n^o 8). Donc, puisqu’on a déjà deux équations en $a$ et $b,$ ou bien en $a$ et $u$ (numéro précédent), il n’y aura qu’à substituer dans ces deux équations la valeur de $u$ que l’on aura trouvée, et si cette valeur est une racine inégale, on sera assuré de parvenir, par l’élimination successive des puissances de $a,$ à une équation où $a$ ne se trouvera plus qu’au premier degré, et qui donnera par conséquent une valeur réelle de $a\,;$ si la valeur de $u$ est une racine double on ne pourra parvenir par l’élimination qu’à une équation où $a$ montera au second degré, et si $u$ est une racine triple on ne parviendra qu’à une équation en $a$ du troisième degré, et ainsi de suite ; de sorte que dans ce cas les valeurs correspondantes de $a$ pourront être réelles ou imaginaires.

12. Cela posé, je dis que chaque racine négative et inégale de la transformée en $u$ donnera toujours deux racines imaginaires dans l’équation proposée, et que chaque racine négative et égale de la même transformée donnera toujours autant de paires de racines imaginaires dans la proposée que l’équation en $a$aura déracines réelles ; et il ne pourra y