Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/355

que la proposée renferme nécessairement des racines imaginaires ; mais on ne sera pas en droit de convertir la proposition en disant que les racines ne seront jamais imaginaires tant que ces conditions seront observées car il est visible que si l’on a

$\mathrm {A>0,\quad B<0,\quad C<0,\quad D>0,\quad E>0,\quad F<0,\quad G} <0,\ldots ,$

les conditions dont il s’agit auront toujours lieu ; de sorte qu’on devrait dire que toute équation de la forme

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}-\mathrm {B} x^{m-2}+\mathrm {C} x^{m-3}+\mathrm {D} x^{m-4}-\mathrm {E} x^{m-5}-\mathrm {F} x^{m-6}+\ldots =0,$

où $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont des quantités positives quelconques, n’aura jamais de racines imaginaires, ce qui est faux ; et il est remarquable que les équations de cette forme mettent en défaut les règles dont nous avons fait mention plus haut (6).

8. Si l’on transforme l’équation proposée en une autre dont les racines soient des fonctions quelconquesrationnelles des racines de celleslà, ce qu’on peut toujours exécuter par les méthodes connues [voyez les Réflexions sur la Résolution algébrique des équations, Section IV, Mémoires de 1771^[1]], on aura une équation dont toutes les racines seront réelles, si la proposée a toutes ses racines réelles ; par conséquent on pourra appliquer à cette transformée les mêmes conclusions qu’on a trouvées ci-dessus ; ce qui fournira de nouvelles conditions entre les coefficients de l’équation proposée, conditions dont le défaut indiquera nécessairement l’existence de quelques racines imaginaires.

Qu’on cherche, par exemple, une transformée dont les racines soient les sommes de celles de l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

prises deux à deux ; on trouvera celle-ci

$x^{\mu }-\alpha x^{\mu -1}+\beta x^{\mu -2}-\gamma x^{\mu -3}+\ldots =0,$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.