la dernière de ces équations donne
![{\displaystyle {\text{ou}}\quad x=0,\quad {\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59cb2679f8ab63538a45ef2674214e5c4648bb4)
dans le premier cas, la première équation deviendra
![{\displaystyle \left(y{\sqrt {y^{2}-b^{2}}}-y^{2}+b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b868583478d74f62f64fc893ef5b3f6912e0bb6f)
mais
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y}{x}}=\infty \quad {\text{lorsque}}\quad x=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e303aff4c2e66668dd47055c1ceccc71b70c22fe)
donc
n’est pas une intégrale particulière ; reste donc le cas de
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4496d419b36e6e623bd80f9dc2b9f233ec2bb7db)
dans lequel la première équation devient
![{\displaystyle yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a23afa50f381f0b97f2485dbf6c33f854da7e5)
mais on a, dans ce même cas,
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0038dbb4082c6e542773bf3c5755d3896fd140af)
donc substituant cette valeur et multipliant par
l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec1cb421e9e80f579759f5fbda1c4829ad5c821)
qui s’accorde avec
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4496d419b36e6e623bd80f9dc2b9f233ec2bb7db)
en sorte que cette équation sera une intégrale particulière.
Ainsi les deux conditions
et
donnent, dans le cas présent, la même intégrale particulière
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-b^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e6128f4d526b863563aed3e8fb6e475c39bbf9)
ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé (6), d’où il s’ensuit que