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lorsqu’elle a lieu, toutes les racines sont nécessairement réelles. Il est visible que cette proposition ne suit pas immédiatement de la précédente, et qu’elle demande une démonstration particulière ; la voici.

D’abord on sait que l’équation

$x^{3}-\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0$

a nécessairement une racine réelle, parce qu’elle est d’un degré impair ; supposons donc que $a$ soit la racine réelle ; donc puisque $a=-b-c,$ il est clair que $b+c$ sera une quantité réelle ; donc, puisque le coefficient réel $\mathrm {C}$ est égal à $(b+c)bc,$ il s’ensuit que $bc$ sera aussi une quantité réelle ; or on a trouvé

$4\mathrm {B^{3}-27C^{2}} =(b-c)^{2}\left[2\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)+3bc\right]^{2}\,;$

donc, tirant la racine carrée, on aura

${\sqrt {4\mathrm {B^{3}-27C^{2}} }}=(b-c)\left[2(b+c)^{2}+bc\right]\,;$

d’où l’on voit que, lorsque $\mathrm {4B^{3}-27C^{2}}$ est une quantité positive, $b-c$ sera aussi une quantité réelle ; ainsi $b+c$ et $b-c$ étant des quantités réelles, il est clair que $b$ et $c$ seront l’une et l’autre réelles.

Si l’on avait

$\mathrm {4B^{3}-27C^{2}} =0,$

alors on aurait, ou

$b-c=0,$

et par conséquent $b=c,$ ou

$2(b+c)^{2}+bc=0,\quad {\text{savoir}}\quad b^{2}+{\frac {5bc}{2}}+c^{2}=0,$

ce qui donne

$b=-{\frac {c}{2}},\quad {\text{ou}}\quad b=-2c,$

de sorte que, comme $a=-b-c,$ on aura, ou $a=b,$ ou $a=c\,;$ d’où l’on voit que la condition de $\mathrm {4B^{3}-27C^{2}} =0$ rend toujours deux des racines de l’équation proposée égales entre elles.