Dans le premier cas, on aura donc
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958dd03166159d4595f457913e1f4811facf535b)
et la première équation deviendra par là
![{\displaystyle -b^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc57a868e9da0756411c9aa278b4205a45bd630e)
ce qui ne donne rien. Dans le second cas, la première équation deviendra
![{\displaystyle y^{2}-b^{2}-xy{\frac {dy}{dx}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944d9b3e229b7288c5b63fa8c3b7c3626c07f731)
mais la proposée donne, en supposant ![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4496d419b36e6e623bd80f9dc2b9f233ec2bb7db)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a72ef0d139d99a907bf7079ac01f1423ab16769)
donc l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle y^{2}+x^{2}-b^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26932683da7cba78aa8bf280d1ba0b933e98b4a)
laquelle s’accorde avec
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e79a4649d0d5775335b3690d8710f57d1d295b)
ainsi cette équation est une intégrale particulière de la proposée.
Si l’on cherche la valeur de
en prenant
pour constante, on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\cfrac {dx}{dy}}+\left(y{\cfrac {dx}{dy}}-x\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ddb656aaa0463d3a0d3c82a1f003bffc07ef66)
d’où l’on tire ces deux équations, en égalant le numérateur et le dénominateur chacun à zéro,
![{\displaystyle yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}+\left(y{\frac {dx}{dy}}-x\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237b8fe08cc205c08b1bc0d081c6ecc0a712a9ab)
![{\displaystyle x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183827862edd15daa54a0ffe5f3e2ee782892aa9)