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Dans le premier cas, on aura donc

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=y,$

et la première équation deviendra par là

$-b^{2}=0,$

ce qui ne donne rien. Dans le second cas, la première équation deviendra

$y^{2}-b^{2}-xy{\frac {dy}{dx}}=0\,;$

mais la proposée donne, en supposant ${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}\,;$

donc l’équation précédente deviendra

$y^{2}+x^{2}-b^{2}=0,$

laquelle s’accorde avec

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

ainsi cette équation est une intégrale particulière de la proposée.

Si l’on cherche la valeur de ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}$ en prenant $dy$ pour constante, on aura

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\cfrac {dx}{dy}}+\left(y{\cfrac {dx}{dy}}-x\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},$

d’où l’on tire ces deux équations, en égalant le numérateur et le dénominateur chacun à zéro,

$yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}+\left(y{\frac {dx}{dy}}-x\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

$x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$