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ordinaires, ce qui donnera lieu à des conséquences importantes sur la nature de ces mêmes fractions.

Pour cela il n’y a qu’à reprendre les formules

$y={\frac {\xi }{1+y'}},\quad y'={\frac {\xi '}{1+y''}},\quad y''={\frac {\xi .'}{1+y'.'}},\ldots$

du n^o 1 et substituer successivement dans la première les valeurs de $y',y'',\ldots$ données par les suivantes ; ce qui donnera

$y={\frac {\xi }{1+y'}}={\frac {\xi +\xi y''}{1+\xi '+y''}}={\frac {\xi +\xi \xi ''+\xi y'''}{1+\xi '+\xi ''+(1+\xi ')y'''}}=\ldots \,;$

mais pour rendre plus sensible l’ordre qui règne entre ces formules suclessives on fera les deux séries

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {P} =&0,&\mathrm {P} '=&\xi ,&\mathrm {P} ''=&\mathrm {P} \xi '+\mathrm {P} ',&\mathrm {P} '''=&\mathrm {P} '\xi ''+\mathrm {P} '',&\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {P} ''\xi '''+\mathrm {P} ''',&\ldots ,&\\\mathrm {Q} =&0,&\mathrm {Q} '=&\xi ,&\mathrm {Q} ''=&\mathrm {Q} \xi '+\mathrm {Q} ',&\mathrm {Q} '''=&\mathrm {Q} '\xi ''+\mathrm {Q} '',&\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {Q} ''\xi '''+\mathrm {Q} ''',&\ldots ,&\\\end{alignedat}}$

et l’on aura

$y={\frac {\mathrm {P} y'+\mathrm {P} '}{\mathrm {Q} y'+\mathrm {Q} '}}={\frac {\mathrm {P} 'y''+\mathrm {P} ''}{\mathrm {Q} 'y''+\mathrm {Q} ''}}={\frac {\mathrm {P} ''y'''+\mathrm {P} '''}{\mathrm {Q} ''y'''+\mathrm {Q} '''}}={\frac {\mathrm {P} '''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {P} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mathrm {Q} '''y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}=\ldots .$

De sorte qu’il n’y aura plus qu’à substituer dans ces expressions les valeurs de $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots ,$ ainsi que celle de la dernière des quantités $y',y'',y''',\ldots$ pour avoir la valeur complète de $y.$

20. Je remarque maintenant que, comme les quantités $y',y'',y''',\ldots$ sont nécessairement comprises entre les limites $\infty$ et $0,$ si l’on substitue successivement ces valeurs extrêmes à leur place, on aura cette série de fractions rationnelles

$\mathrm {{\frac {P}{Q}},\quad {\frac {P'}{Q'}},\quad {\frac {P''}{Q''}},\quad {\frac {P'''}{Q'''}},\quad {\frac {P^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{Q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}} ,\ldots ,$

qui convergeront nécessairement vers la vraie valeur de $y$.

Pour prouver cette convergence et en déterminer la quantité pour