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et éliminant $p$ au moyen de cette équation et de la proposée

$y-px+f(p)=0,$

on aura l’intégrale particulière de cette dernière équation. On voit par là que l’intégrale complète ne donnera jamais autre chose qu’une ligne droite, tandis que l’intégrale particulière donnera toujours une courbe ; nous en donnerons la raison à priori dans l’Article suivant.

Ces sortes d’équations sont celles qui donnent lieu aux paradoxes dont il est question dans les Mémoires de MM. Clairaut et Euler que nous avons cités au commencement de ce Mémoire ; et l’on doit voir maintenant que le vrai dénouement de ces paradoxes tient à la théorie des intégrales particulières que nous venons d’exposer.

18. Reprenons les Exemples que nous avons apportés dans le n^o 6, et voyons si la règle ci-dessus donnera les mêmes intégrales particulières que nous avons trouvées d’après les intégrales complètes.

L’équation

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y}}$

donne par la différentiation

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {y^{2}-b^{2}-xy{\cfrac {dy}{dx}}+\left(x{\cfrac {dy}{dx}}-y\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}{\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y\right)^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\,;$

faisant cette quantité égale à ${\frac {0}{0}},$ on a les deux équations

$y^{2}-b^{2}-xy{\frac {dy}{dx}}+\left(x{\frac {dy}{dx}}-y\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

$\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y\right)^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

la seconde donne d’abord,

${\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y=0,\quad {\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0.$