Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/324

7^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}={\frac {9n^{2}x^{n}}{(5n+1)(6n+1)}},$ et de là

$-{\frac {(3n+1)^{2}x^{n}}{(6n+1)^{2}}}+\left(1-{\frac {x^{n}}{6n+1}}\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{VII2}}}+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{6n+1}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}}{dx}}=0\,;$

8^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}={\frac {(3n+1)^{2}x^{n}}{(6n+1)(7n+1)}},$ et de là …

Ainsi l’on aura pour la valeur de $y$ cette fraction continue

$y={\cfrac {x}{1+{\cfrac {\cfrac {x^{n}}{n+1}}{1+{\cfrac {\cfrac {n^{2}x^{n}}{(n+1)(2n+1)}}{1+{\cfrac {\cfrac {(n+1)^{2}x^{n}}{(2n+1)(3n+1)}}{1+{\cfrac {\cfrac {(2n)^{2}x^{n}}{(3n+1)(4n+1)}}{1+{\cfrac {\cfrac {(2n+1)^{2}x^{n}}{(4n+1)(5n+1)}}{1+{\cfrac {\cfrac {(3n)^{2}x^{n}}{(5n+1)(6n+1)}}{1+{\cfrac {\cfrac {(3n+1)^{2}x^{n}}{(6n+1)(7n+1)}}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

Or l’équation différentielle proposée donne par l’intégration

$y=\int {\frac {dx}{1+x^{n}}}\,;$

par conséquent la valeur de cette intégrale sera représentée par la fraction continue que nous venons de trouver.

15. Si l’on fait $n=1,$ alors $y=\log(1+x),$ et la fraction continue qui exprime la valeur de $y$ reviendra au même que celle que nous avons trouvée plus haut (10).

Si l’on fait $n=2,$ alors $y=\operatorname {arc\,tang} x\,;$ ainsi l’on aura, pour l’ex-