Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/323

duite des séries connues du sinus et du cosinus, divisées l’une par l’autre suivant le procédé qui sert à trouver le plus grand commun diviseur.

14. Considérons maintenant l’équation

$1-\left(1+x^{n}\right){\frac {y}{x}}=0,$

et cherchons par notre méthode la valeur de $y$ en $x$ exprimée par une fraction continue d’autant plus convergente que $x$ est plus petite dans la supposition de $n>0.$

1^o On trouvera $\xi =x,$ et l’on aura cette transformée en $y'$

$-x^{n}+\left(1-x^{n}\right)y'+y'^{2}+\left(1+x^{n}\right)x{\frac {dy'}{dx}}=0\,;$

2^o On aura $\xi '={\frac {x^{n}}{n+1}},$ et de là

$-{\frac {n^{2}x^{n}}{(n+1)^{2}}}+\left(1-{\frac {n-1}{n+1}}x^{n}\right)y''+y''^{2}+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{n+1}}{\frac {dy''}{dx}}=0\,;$

3^o On aura $\xi ''={\frac {n^{2}x^{n}}{(n+1)(2n+1)}},$ et de là

$-{\frac {(n+1)^{2}x^{n}}{(2n+1)^{2}}}+\left(1-{\frac {x^{n}}{2n+1}}\right)y'''+y'''^{2}+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{2n+1}}{\frac {dy'''}{dx}}=0\,;$

4^o On aura $\xi '''={\frac {(n+1)^{2}x^{n}}{(2n+1)(3n+1)}},$ et de là

$-{\frac {4n^{2}x^{n}}{(3n+1)^{2}}}+\left(1-{\frac {n-1}{3n+1}}x^{n}\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{3n+1}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dx}}=0\,;$

5^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {4n^{2}x^{n}}{(3n+1)(4n+1)}},$ et de là

$-{\frac {(2n+1)^{2}x^{n}}{(4n+1)^{2}}}+\left(1-{\frac {x^{n}}{4n+1}}\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{4n+1}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dx}}=0\,;$

6^o On aura $\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}={\frac {(2n+1)^{2}x^{n}}{(4n+1)(5n+1)}},$ et de là

$-{\frac {9n^{2}x^{n}}{(5n+1)^{2}}}+\left(1-{\frac {n-1}{5n+1}}x^{n}\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+{\frac {\left(1+x^{n}\right)x}{5n+1}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}{dx}}=0\,;$