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et il en résultera cette transformée en $y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}$

${\frac {3(m-3)}{25}}x+\left(1+{\frac {m-1}{5}}x\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{VI2}}}+{\frac {(1+x)x}{5}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}}{dx}}=0.$

De là on trouvera

$\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}=-{\frac {m-3}{5}}{\frac {x}{2}},$

et l’on aura cette transformée en $y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}$

$-{\frac {m+3}{12}}x+\left(1-{\frac {m}{6}}x\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{VII2}}}+{\frac {(1+x)x}{6}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}}{dx}}=0.$

On tirera de là

$\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}={\frac {m+3}{7}}{\frac {x}{2}},$

et la transformée en $y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}$ sera

${\frac {4(m-4)}{49}}x+\left(1+{\frac {m-1}{7}}x\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII2}}}+{\frac {(1+x)x}{7}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}}{dx}}=0.$

Et ainsi de suite.

Donc on aura pour la valeur de $y$ cette fraction continue

$y={\frac {a}{1+{\cfrac {mx}{1-{\cfrac {(m-1){\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {m+1}{3}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {m-2}{3}}{\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {m+2}{5}}{\cfrac {x}{2}}}{1-{\cfrac {{\cfrac {m-3}{5}}{\cfrac {x}{2}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {m+3}{7}}{\cfrac {x}{2}}}{1-\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

Et comme cette expression de $y$ renferme une constante arbitraire $a,$ elle doit être regardée comme complète.