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dans l’hypothèse de $x$ très-petite cette équation se réduit à ${\frac {\alpha }{x}}=0\,;$ donc

$\alpha =0,$

et le coefficient $a$ demeure indéterminé. On aura ainsi

$\xi =a,$

et la transformée en $y'$ sera, après les réductions,

$-m-my'+(1+x){\frac {dy'}{dx}}=0.$

On fera dans cette équation $y'=bx^{\beta },$ ce qui la réduira à

$-m+b(\beta -m)x^{\beta }+b\beta x^{\beta -1}=0\,;$

négligeant la puissance $x^{\beta }$ vis-à-vis de $x^{\beta -1},$ on aura simplement

$-m+b\beta x^{\beta -1}=0\,;$

donc

$\beta =1,\quad b=m.$

On aura donc

$\xi '=mx,$

et la transformée en $y''$ deviendra

$(m-1)x+\left[1+(m-1)x\right]y''+y''^{2}+(1+x)x{\frac {dy''}{dx}}=0.$

Faisant $y''=cx^{\gamma },$ et négligeant d’abord la puissance $x^{\gamma +1}$ vis-à-vis de $x^{\gamma },$ on aura l’équation

$(m-1)x+c(1+\gamma )x^{\gamma }+c^{\gamma }x^{2\gamma }=0\,;$

je range les trois exposants ainsi, $1,\gamma ,2\gamma ,$ et égalant successivement le premier terme de cette série aux deux suivants, j’ai $\gamma =1,\ \gamma ={\frac {1}{2}}\,;$ la plus grande de ces deux valeurs étant la première, je l’adopte pow $\gamma ,$ et comme cette valeur vient de la comparaison du premier terme avec le second, je puis encore égaler le second au troisième, ce qui donnera $\gamma =0\,;$