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sera aussi nécessairement, puisque ces fractions étant réduites en fractions ordinaires doivent être identiques.

7. Soit proposée une équation différentielle de la forme suivante qui est très-générale

$\mathrm {N} +\mathrm {P} y+\mathrm {Q} y^{2}+\mathrm {R} {\frac {dy}{dx}}=0,$

$\mathrm {N,P,Q,R}$ étant des fonctions quelconques de $x.$

Si l’on substitue, dans cette équation, ${\frac {\xi }{1+y'}}$ à la place de $y$ (1), on aura cette transformée en $y'$

$\mathrm {N} '+\mathrm {P} 'y'+\mathrm {Q} 'y'^{2}+\mathrm {R} '{\frac {dy'}{dx}}=0,$

dans laquelle

$\mathrm {N'=N+P} \xi +\mathrm {Q} \xi ^{2}+\mathrm {R} {\frac {d\xi }{dx}},\quad \mathrm {P'=2N+P} \xi +\mathrm {R} {\frac {d\xi }{dx}},$

$\mathrm {Q'=N,\quad R'=-R} \xi .$

En substituant de même, dans cette dernière équation, ${\frac {\xi '}{1+y''}}$ à la place de $y',$ on aura cette nouvelle transformée

$\mathrm {N} ''+\mathrm {P} ''y''+\mathrm {Q} ''y''^{2}+\mathrm {R} ''{\frac {dy''}{dx}}=0,$

dans laquelle

$\mathrm {N''=N'+P'} \xi '+\mathrm {Q} '\xi '^{2}+\mathrm {R} '{\frac {d\xi '}{dx}},\quad \mathrm {P''=2N'+P'} \xi '+\mathrm {R} '{\frac {d\xi '}{dx}},$

$\mathrm {Q''=N',\quad R''=-R'} \xi ',$

et ainsi de suite.

Maintenant, pour déterminer les quantités $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots ,$ il n’y aura qu’à faire dans ces différentes équations

$y=ax^{\alpha },\quad y'=bx^{\beta },\quad y''=cx^{\gamma },\ldots ,$

et déterminer ensuite les exposants $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ ainsi que les coefficients correspondants $a,b,c,\ldots ,$ par les méthodes exposées ci-dessus.