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16. En supposant que l’équation différentielle proposée $\mathrm {Z} =0$ donne par la différentiation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0\,;$

s’il arrive que les deux termes $\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx$ se détruisent d’eux-mêmes, on aura

$\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}=0,\quad$et par conséquent$\quad d{\frac {dy}{dx}}={\frac {0}{\mathrm {A} }}\,;$

de sorte que dans ce cas l’une et l’autre condition ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {0}{0}}$ et ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {0}{0}}$ sera remplie par la condition unique $\mathrm {A} =0$ ; ainsi il n’y aura qu’à éliminer la quantité ${\frac {dy}{dx}}$ au moyen des deux équations $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {Z} =0,$ et l’équation résultante entre $x$ et $y$ sera l’intégrale particulière de la proposée. Quant à l’intégrale complète, elle est facile à déduire de l’équation

$\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}=0\,;$

car cette équation, lorsque $\mathrm {A}$ n’est point nul, donne

$d{\frac {dy}{dx}}=0,\quad$et par conséquent$\quad {\frac {dy}{dx}}=a,$

$a$ étant une constante arbitraire ; il n’y aura donc qu’à substituer cette valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ dans l’équation donnée $\mathrm {Z} =0,$ et l’on aura l’intégrale complète où $a$ sera la constante arbitraire.

Voyons maintenant quels sont les cas où l’on aura

$\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0.$

Pour plus de simplicité, je fais ${\frac {dy}{dx}}=p,$ en sorte que $\mathrm {Z}$ soit une fonction de $x,y,p,$ dont la différentielle $d\mathrm {Z} =\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx\,;$ puis donc