Or le terme dont il s’agit est dans la série primitive ; ainsi il n’y aura qu’à considérer la série
et y appliquer la méthode précédente ; et ainsi de suite.
Voici donc à quoi se réduit la solution du Problème proposé.
On égalera successivement le premier terme de la série donnée à chacun des suivants, et l’on tirera la valeur de de chacune de ces égalités ; la plus grande de ces différentes valeurs de résoudra la question ; et les termes, qui forment l’égalité ou les égalités d’où, elle est déduite, deviendront les plus petits. On partira ensuite du dernier de ces termes, c’est-à-dire de celui qui est le plus éloigné du commencement de la série, et on l’égalera successivement à chacun des suivants, en tirant la valeur de de chacune de ces égalités ; la plus grande de ces différentes valeurs de résoudra aussi la question, et rendra les plus petits les termes qui ont produit l’égalité ou les égalités d’où cette valeur de résulte. On partira de nouveau du dernier de ces termes et l’on opérera comme nous venons de le dire ; et ainsi de suite, tant qu’il y aura des termes dans la série. On trouvera de cette manière toutes les valeurs de qui peuvent résoudre la question, et on trouvera d’abord la plus grande, ensuite les autres suivant l’ordre de leur grandeur en diminuant.
Cette méthode a sur celles de MM. Taylor et Stirling non-seulement l’avantage d’être purement analytique, mais encore celui de pouvoir toujours être appliquée avec la même facilité, quels que soient les nombres donnés entiers ou fractionnaires, ou même irrationnels.
Soit, par exemple, la série de six termes
en égalant d’abord le premier terme à chacun des suivants, on trouve ces valeurs de
