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sance plus haute de $x\,;$ de sorte que l’équation se réduira à un certain nombre de termes tous affectés de la même puissance de $x,$ cette puissance étant la plus basse qu’il y ait dans l’équation proposée ; par ce moyen l’x disparaîtra, et il restera une équation entre les coefficients, laquelle servira à déterminer la constante $a$.

Si l’exposant $\alpha$ était connu, il n’y aurait, comme on voit, aucune difficulté à déterminer le coefficient $a\,;$ or, comme $\alpha ,$ est indéterminé, on peut lui donner telle valeur que l’on veut ; il faut seulement que cette valeur soit telle, que la plus petite puissance de $x$ se trouve au moins dans deux termes de l’équation, afin qu’après la division par cette puissance de $x$ on ait une équation entre les seuls coefficients, à laquelle on puisse satisfaire par la détermination du coefficient $a.$

Tout se réduit donc à déterminer la quantité $\alpha$ par cette condition, que la plus petite puissance de $x$ se trouve au moins dans deux termes de l’équation. MM. Tailor et Stirling ont donné pour cela des méthodes qu’on peut voir dans le Methodus incrementorum (Proposition 9) et dans les Lineæ tertii ordinis (Problème II) ; mais comme la méthode du premier demande une espèce de construction géométrique, et que celle du second dépend du parallélogramme de Newton, et par conséquent ne peut être regardée que comme une méthode mécanique, je crois que les Géomètres seront bien aises de voir comment on peut résoudre cette question par une méthode purement analytique.

3. J’observe d’abord que, si, après avoir réduit l’équation à une suite de termes de la forme $\mathrm {A} a^{m}x^{m\alpha +n},$ on a différents termes dans l’exposant desquels le nombre $m$ soit le même, il suffira d’avoir égard à celui de ces termes où le nombre $n$ sera le plus petit, parce qu’il est évident que dans la supposition de $x$ très-petite le terme dont il s’agit sera comme infiniment plus grand que les autres. De cette manière on n’aura dans l’équation que des termes où le nombre $m$ sera différent de l’un à l’autre. Ainsi dénotant ces différentes valeurs de $m$ par $m,m',m'',m''',\ldots ,$ en sorte que ces nombres forment une suite croissante, et désignant par $n,n',n'',n''',\ldots ,$ et par $\mathrm {A,A',A'',A'''} ,\ldots ,$ les valeurs correspondantes de $n$ et de $\mathrm {A} ,$