or, comme les quantités
et
sont très-petites (hypothèse), il est clair que les quantités
et
le seront aussi ; d’où il s’ensuit que la série précédente sera nécessairement convergente.
29. Soit encore l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} x={\frac {a\sin 2y+b\sin y}{\cos 2y+p\cos y+q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b069f269686c0fc41cbfef095ea733a5c33524e)
étant peu différent de l’unité, et
des coefficients fort petits ; on aura d’abord
![{\displaystyle {\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\cos 2y+p\cos y+q+(a\sin 2y+b\sin y){\sqrt {-1}}}{\cos 2y+p\cos y+q-(a\sin 2y+b\sin y){\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19691fcfda47499eac6cea523ce3993187c60a1)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca33db0e0500b730d95a362ceae3fb4cfad48f6)
![{\displaystyle {\frac {(1+a)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-a)e^{-2y{\sqrt {-1}}}+(p+b)e^{y{\sqrt {-1}}}+(p-b)e^{-y{\sqrt {-1}}}+2q}{(1+a)e^{-2y{\sqrt {-1}}}+(1-a)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(p+b)e^{-y{\sqrt {-1}}}+(p-b)e^{y{\sqrt {-1}}}+2q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c2a827eb8744500f4b6d45def8327fe1ce0a98)
ou bien à
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{4y{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e092b02b81bcd4c1997c01c591b2a38d9bcd9a6)
![{\displaystyle {\frac {1+{\cfrac {p+b}{1+a}}e^{-y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {2q}{1+a}}e^{-2y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {p-b}{1+a}}e^{-3y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{-4y{\sqrt {-1}}}}{1+{\cfrac {p+b}{1+a}}e^{y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {2q}{1+a}}e^{2y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {p-b}{1+a}}e^{3y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{4y{\sqrt {-1}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e163e46e497e1df574e5590a9a6f7e07909583)
Soient maintenant
![{\displaystyle 1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z,\quad 1+\mathrm {R} z,\quad 1+\mathrm {S} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6636f9a006a86ab1d82d977222b4e9f6043fcb3f)
les facteurs simples du quadrinôme
![{\displaystyle 1+{\frac {p+b}{1+a}}z+{\frac {2q}{1+a}}z^{2}+{\frac {p-b}{1+a}}z^{3}+{\frac {1-a}{1+a}}z^{4}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d873395d34756031b8efcfd28a14c1af968ef)
l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca33db0e0500b730d95a362ceae3fb4cfad48f6)
![{\displaystyle e^{4y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {R} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {S} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {R} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {S} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5751c269bce4c75f2cf3443d56c792950412691e)