Soit, par exemple, l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} x={\frac {a\sin y}{\cos y+p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e5786c1f7572f65d22d73347228c8d261a66d6)
étant une quantité qui diffère peu de l’unité, et
une quantité très-petite ; je forme l’équation
![{\displaystyle {\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\cos y+p+a\sin y{\sqrt {-1}}}{\cos y+p-a\sin y{\sqrt {-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b421c2f3140c1b2d217db7d8a697c673d49366d)
laquelle, en introduisant les exponentielles imaginaires, se réduit à
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}+2p+a\left(e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}+2p-a\left(e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043c4c0d379052f21f3c25d606125af3f419f23f)
ou bien
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+{\cfrac {2p}{1+a}}e^{-y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{1+{\cfrac {2p}{1+a}}e^{y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{2y{\sqrt {-1}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac0927f68e211d541e4eab2856389990af80ca8)
Soient
![{\displaystyle 1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0123147d6af1306f56013b1445fe73923efce8d6)
les deux facteurs du trinôme
![{\displaystyle 1+{\frac {2p}{1+a}}z+{\frac {1-a}{1+a}}z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4de1e7c4133b00e43ce23bb1fc2240769f75f75)
l’équation précédente pourra se mettre sous cette forme
![{\displaystyle e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49ab75f9052aafe64d76f266fb26cdb41bea801)
prenant les logarithmes des deux membres, réduisant en série les logarithmes des facteurs
et remettant à la place des exponentielles imaginaires les sinus correspondants, on aura sur-le-champ
![{\displaystyle x=y-(\mathrm {P+Q} )\sin y+\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}}{2}} \sin 2y-\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}}{3}} \sin 3y+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082a2762b7305d83c729a10b963017907d10892d)