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Soit, par exemple, l’équation

$\operatorname {tang} x={\frac {a\sin y}{\cos y+p}},$

$a$ étant une quantité qui diffère peu de l’unité, et $p$ une quantité très-petite ; je forme l’équation

${\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}}={\frac {\cos y+p+a\sin y{\sqrt {-1}}}{\cos y+p-a\sin y{\sqrt {-1}}}},$

laquelle, en introduisant les exponentielles imaginaires, se réduit à

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}+2p+a\left(e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}+2p-a\left(e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}},$

ou bien

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+{\cfrac {2p}{1+a}}e^{-y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{1+{\cfrac {2p}{1+a}}e^{y{\sqrt {-1}}}+{\cfrac {1-a}{1+a}}e^{2y{\sqrt {-1}}}}}.$

Soient

$1+\mathrm {P} z,\quad 1+\mathrm {Q} z$

les deux facteurs du trinôme

$1+{\frac {2p}{1+a}}z+{\frac {1-a}{1+a}}z^{2},$

l’équation précédente pourra se mettre sous cette forme

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {\left(1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{-y{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(1+\mathrm {P} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)\left(1+\mathrm {Q} e^{y{\sqrt {-1}}}\right)}}\,;$

prenant les logarithmes des deux membres, réduisant en série les logarithmes des facteurs $1+\mathrm {P} e^{-y{\sqrt {-1}}},\ldots ,$ et remettant à la place des exponentielles imaginaires les sinus correspondants, on aura sur-le-champ

$x=y-(\mathrm {P+Q} )\sin y+\mathrm {\frac {P^{2}+Q^{2}}{2}} \sin 2y-\mathrm {\frac {P^{3}+Q^{3}}{3}} \sin 3y+\ldots \,;$