Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/293

26. Les premières formules des n^os 21 et 22 donnent, par l’addition et la soustraction, ces deux-ci, dans lesquelles au lieu de ${\frac {1}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}}$ j’écris $\cot {\frac {b}{2}},$

${\begin{aligned}\gamma =&\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}+\cot {\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\sin \alpha \\&\qquad \qquad -{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {b}{2}}-\cot ^{2}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\alpha \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {b}{2}}+\cot ^{3}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\sin 3\alpha -\ldots ,\\\\\beta =&180^{\circ }-\alpha +\left(\operatorname {tang} {\frac {b}{2}}-\cot {\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {c}{2}}\sin \alpha \\&\qquad \qquad -{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {b}{2}}+\cot ^{2}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {c}{2}}\sin 2\alpha \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {b}{2}}-\cot ^{3}{\frac {b}{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {c}{2}}\sin 3\alpha -\ldots .\end{aligned}}$

Et de même les premières formules des n^os 23 et 24 donneront

${\begin{aligned}c=&\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\sin a\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\beta }{2}}-\cot ^{2}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2a\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\beta }{2}}+\cot ^{3}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\gamma }{2}}\sin 3a+\ldots ,\\\\b=&a+\left(\operatorname {tang} {\frac {\beta }{2}}-\cot {\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {\gamma }{2}}\sin a\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cot ^{2}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2a\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\beta }{2}}-\cot ^{3}{\frac {\beta }{2}}\right)\operatorname {tang} ^{3}{\frac {\gamma }{2}}\sin 3a+\ldots .\end{aligned}}$

Ainsi lorsqu’on connaît, dans un triangle sphérique quelconque, deux côtés $b,c$ et l’angle $\alpha$ compris entre ces côtés, on pourra, par les deux premières formules, trouver les deux autres angles $\beta$ et $\gamma$ opposés aux côtés $b$ et $c,$ et ces formules seront d’autant plus convergentes que le côté $c$ sera plus petit et que le côté $b$ sera plus près de $90$ degrés.

Pareillement, si l’on connaît un côté $a$ et les deux angles $\beta ,\gamma$ adjacents à ce côté, on aura par les deux dernières formules les deux autres côtés $b$ et $c$ opposés aux angles $\beta$ et $\gamma \,;$ et ces formules seront d’autant plus convergentes que l’angle $\gamma$ sera plus petit et que l’autre angle $\beta$ sera plus près de $90$ degrés.