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trois côtés d’un triangle sphérique quelconque, et $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles qui leur sont respectivement opposés :

1^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {\beta +\gamma }{2}}={\frac {\cot {\cfrac {\alpha }{2}}\sin {\cfrac {b-c}{2}}}{\sin {\cfrac {b+c}{2}}}}\,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {\beta +\gamma }{2}}={\frac {\cot {\cfrac {\alpha }{2}}\cos {\cfrac {b-c}{2}}}{\cos {\cfrac {b+c}{2}}}}\,;$

3^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {b-c}{2}}={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {a}{2}}\sin {\cfrac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\cfrac {\beta +\gamma }{2}}}}\,;$

4^o$\qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} {\frac {b+c}{2}}={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {a}{2}}\cos {\cfrac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\cfrac {\beta +\gamma }{2}}}}\,;$

d’où l’on déduit encore cette cinquième

5^o$\quad \qquad \operatorname {tang} {\frac {\beta -\gamma }{2}}\operatorname {tang} {\frac {b+c}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {\beta +\gamma }{2}}\operatorname {tang} {\frac {b-c}{2}}.$

Comme ces équations renferment toutes des tangentes, elles peuvent être traitées par notre méthode, ainsi qu’on va le voir.

21. La première des équations précédentes étant comparée à celle du n^o 9, on aura

$\varphi ={\frac {b+c}{2}},\quad \omega ={\frac {b-c}{2}},\quad x={\frac {\beta -\gamma }{2}},\quad y=90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}\,;$

donc

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {c}{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {b}{2}}}},$