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or dans le cas de l’intégrale particulière on a ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ donc, puisque $\mathrm {B}$ ne peut devenir infini étant une fonction sans dénominateur, le terme $\mathrm {B} {\frac {dy}{da}}$ deviendra nul, et il faudra qu’on ait

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0\,;$

donc, si ${\frac {d^{2}y}{dxda}}$ n’est pas nul, il faudra que $\mathrm {A} =0.$

Si ${\frac {d^{2}y}{dxda}}=0$ en même temps que ${\frac {dy}{da}}=0,$ l’équation

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}y}{dxda}}+\mathrm {B} {\frac {dy}{da}}=0\,;$

aura lieu d’elle-même ; mais en prenant la différentielle de cette équation, $x$ et $y$ variant à la fois et $a$ demeurant constante, j’aurai

$\mathrm {A} {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}+\left({\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+\mathrm {B} \right){\frac {d^{2}y}{dxda}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}{\frac {dy}{da}}=0\,;$

or on a ${\frac {dy}{da}}$ et ${\frac {d^{2}y}{dxda}}$ nuls à la fois par l’hypothèse ; donc, puisque les coefiicients de ces quantités ne sauraient devenir infinis, étant des fonctions sans dénominateur, l’équation précédente se réduira à

$\mathrm {A} {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,$

laquelle, si ${\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}$ n’est pas nul, donne de nouveau $\mathrm {A} =0.$

Si ${\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}$ est nul aussi, on trouvera, par une nouvelle différentiation, que l’on aura nécessairement $\mathrm {A} =0,$ à moins que ${\frac {d^{4}y}{dx^{3}da}}$ ne soit nul ; et ainsi de suite à l’infini.

Mais nous avons vu ci-dessus que pour que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ donne une intégrale particulière, il faut que les quantités

${\frac {d^{2}y}{dxda}},\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}},\ldots$ à l’infini