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Si $\mu =2,$ on aura

$\sin 4x=\left(1-\theta ^{2}\right)\left[2\theta \sin 2y+\left(1-3\theta ^{2}\right)\sin 4y-\theta \left(2-4\theta ^{2}\right)\sin 6y\right.$

$\left.+\theta ^{2}\left(3-5\theta ^{2}\right)\sin 8y-\theta ^{3}\left(4-6\theta ^{2}\right)\sin 10y+\ldots \right],$

$\cos 4x=\theta ^{2}+\left(1-\theta ^{2}\right)\left[2\theta \cos 2y+\left(1-3\theta ^{2}\right)\cos 4y-\theta \left(2-4\theta ^{2}\right)\cos 6y\right.$

$\left.+\theta ^{2}\left(3-5\theta ^{2}\right)\cos 8y-\theta ^{3}\left(4-6\theta ^{2}\right)\cos 10y+\ldots \right],$

et ainsi du reste.

16. Appliquons maintenant les formules que nous venons de trouver à la Trigonométrie sphérique, et considérons d’abord les cas des triangles sphériques rectangles qui peuvent s’y rapporter.

Soit donc un triangle sphérique rectangle dont l’hypoténuse soit $a,$ les deux côtés $b,c,$ et les angles opposés à ces côtés, $\beta ,\gamma \,;$ si l’on examine toutes les analogies connues pour ces sortes de triangles, on ne trouvera que les trois suivantes qui renferment des tangentes :

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} b=\cos \gamma \operatorname {tang} a,$

2^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} c=\sin b\operatorname {tang} \gamma ,$

3^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {tang} \beta ={\frac {\cot \gamma }{\cos a}}={\frac {\operatorname {tang} (90^{\circ }-\gamma )}{\cos a}}.$

17. Comparant donc ces équations avec celles des n^os 6 et 9, on aura d’abord

$x=b,\quad y=a,\quad \omega =\gamma \quad \varphi =0\,;$

donc

$\theta =\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\,;$

donc (7)

${\begin{aligned}a-b=&\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2a-{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 4a+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\gamma }{2}}\sin 6a-\ldots \\=&\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\gamma }{2}}\sin 2b\,+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\gamma }{2}}\sin 4b\,+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\gamma }{2}}\sin 6b+\ldots .\end{aligned}}$

On a donc par ces formules la différence entre l’hypoténuse et un