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et si l’on met $90^{\circ }-\omega$ à la place de $\omega$ pour avoir l’équation

$\operatorname {tang} x=\operatorname {tang} \omega \operatorname {tang} y,$

on aura

$\theta =\operatorname {tang} \left(45^{\circ }-\omega \right).$

9. Si l’on change les angles $\varphi$ et $\omega$ en leurs compléments $90^{\circ }-\varphi ,$$90^{\circ }-\omega ,$ de sorte que l’on ait l’équation

$\sin \varphi \operatorname {tang} x=\sin \omega \operatorname {tang} y,$

on aura alors

$\theta =\operatorname {tang} \left(90^{\circ }-{\frac {\omega +\varphi }{2}}\right)\operatorname {tang} {\frac {\varphi -\omega }{2}},$

savoir

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\varphi -\omega }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {\varphi +\omega }{2}}}}.$

10. Si l’on avait dans les formules du n^o 5

$m={\frac {\operatorname {tang} \omega }{\operatorname {tang} \varphi }},$

en sorte que l’équation fût de la forme

$\operatorname {tang} \varphi \operatorname {tang} x=\operatorname {tang} \omega \operatorname {tang} y,$

on aurait

$\theta ={\frac {\operatorname {tang} \varphi -\operatorname {tang} \omega }{\operatorname {tang} \varphi +\operatorname {tang} \omega }},$

ce qui se réduit à

$\theta ={\frac {\sin(\varphi -\omega )}{\sin(\varphi +\omega )}}.$

Et si l’on avait l’équation

$\operatorname {tang} x=\operatorname {tang} \varphi \operatorname {tang} \omega \operatorname {tang} y,$

il n’y aurait qu’à mettre $90^{\circ }-\varphi$ à la place de $\varphi$ dans l’expression précé-