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donne, en employant les expressions exponentielles imaginaires des tangentes, celle-ci

${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}}=\cos \omega {\frac {e^{y{\sqrt {-1}}}-e^{-y{\sqrt {-1}}}}{e^{y{\sqrt {-1}}}+e^{-y{\sqrt {-1}}}}},$

ou bien

${\frac {e^{2x{\sqrt {-1}}}-1}{e^{2x{\sqrt {-1}}}+1}}=\cos \omega {\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}-1}{e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}},$

d’où l’on tire sur-le-champ

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+1+\cos \omega \left(e^{2y{\sqrt {-1}}}-1\right)}{e^{2y{\sqrt {-1}}}+1-\cos \omega \left(e^{2y{\sqrt {-1}}}-1\right)}}$

$={\frac {(1+\cos \omega )e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-\cos \omega )}{(1-\cos \omega )e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1+\cos \omega )}}\,;$

mais

${\frac {1-\cos \omega }{1+\cos \omega }}=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}\,;$

donc, dénotant pour plus de simplicité $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}$ par $\theta ,$ on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}},$

équation qu’on peut aussi mettre sous cette forme

$e^{2x{\sqrt {-1}}}=e^{2y{\sqrt {-1}}}{\frac {1+\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}}{1+\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}}}\,;$

d’où, en prenant les logarithmes et divisant ensuite par $2{\sqrt {-1}},$ on a

$x=y+{\frac {\log \left(1+\theta e^{-2y{\sqrt {-1}}}\right)-\log \left(1+\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}.$

Or on sait que

$\log(1+u)=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots \,;$

donc, réduisant en série les deux logarithmes de l’équation précédente